UNIDAD IV-1. INTERACCIONES GRAVITATORIA Y ELECTROSTÁTICA



Objetivos de la Unidad


- Entender el concepto de fuerzas centrales.
- Aplicar con corrección los conceptos de momento de fuerza respecto de un punto y de momento angular.
- Conocer los conceptos mecánicos necesarios para el estudio de los campos gravitatorios y eléctricos.
- Conocer la importancia de las interacciones gravitatorias y electromagnéticas como interacciones que explican la mayor parte de los fenómenos que nos acompañan en nuestra vida cotidiana.
- Conocer desde un punto de vista histórico la teoría de la gravitación: desde el modelo geocéntrico hasta Kepler (1571-1630) y el posterior estudio dinámico de Newton.
- Conocer y entender las tres leyes de Kepler
- Conocer desde un punto de vista histórico la interacción electrostática: desde los estudios de Gilbert hasta la ley de Coulomb.
- Entender la ley de gravitación universal y la ley de Coulomb.
- Establecer una comparativa entre ambas: expresión, órdenes de magnitud, dependencia del medio,...
- Saber aplicar el concepto de campo al estudio de la gravitación y de la electrostática y comprobar que estos campos son conservativos.
- Entender el principio de superposición.
- Demostrar que estos campos de fuerzas son conservativos y deducir la expresión de la energía potencial.
- Entender el concepto de energía potencial y la necesidad de establecer un origen de energías (el infinito). Remarcar en el caso de la energía potencial gravitatoria y electrostática entre cargas de distinto signo el significado del signo menos.
- Entender el concepto de campo y de potencial como magnitudes necesarias para explicar la “acción” a distancia, así como para que los campos generados sean unívocos.
- Conocer el concepto de líneas de campo y de superficies equipotenciales y establecer la relación existente entre ellas.
- Entender el teorema de Gauss y saber aplicarlo al cálculo del campo eléctrico creado por elementos continuos: esfera, hilo y placa.
- Saber que las expresiones para los vectores intensidad de campo y del potencial creados por una distribución esférica de carga o masa en puntos situados fuera de ella es idéntico que las generadas por cargas o masas puntuales.
- Analizar con corrección los movimientos planetarios y la puesta en órbita de satélites.
- Entender la descripción energética de los movimientos planetarios y la puesta en órbita de satélites.
- Conocer el concepto de sistema ligado y los conceptos de órbita abierta y órbita cerrada.
- Entender la formación de las mareas y sus distintos tipos.
- Resolver con corrección cuestiones y problemas relacionados con los contenidos explicados.
- Dominar de las unidades correspondientes.


1. Repaso de Mecánica. Momento de una fuerza. Momento angular.



La Mecánica es un cuerpo de conocimientos que estudia los procesos físicos desde el punto de vista cinemático, dinámico y energético

La Dinámica es una teoría basada en las ideas de masa y fuerza. Describe los fenómenos naturales utilizando las tres leyes de Newton que relacionan la aceleración de un cuerpo con su masa y las fuerzas que sobre él actúan, tal y como vimos el año pasado.

Fuerza es toda magnitud física capaz de deformar un cuerpo (efecto estático) o de modificar su estado de reposo o movimiento (efecto dinámico), o ambas a la vez.

  1. 1ª ley: Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que sobre el mismo actúe una fuerza externa neta o no equilibrada de todas las fuerzas exteriores.
  2. 2º ley: La aceleración de un cuerpo es inversamente proporcional a su masa y directamente proporcional a la fuerza neta externa que sobre el mismo actúa.
  3. 3ª ley: Principio de acción-reacción: las fuerzas actúan siempre por pares; si un objeto A ejerce sobre otro objeto B una fuerza, B ejerce sobre A otra fuerza igual en módulo y dirección, pero de sentido opuesto.

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Principio de acción-reacción

La Segunda Ley de Newton se expresa matemáticamente como:



Para definir el estado de movimiento de un cuerpo mientras se traslada, se utiliza el concepto de cantidad de movimiento o momento lineal que se define como: El momento lineal de un móvil es una magnitud vectorial, de la misma dirección y sentido que la velocidad, y cuyo valor es igual al producto de la masa del móvil por la velocidad que éste posee.



Si hacemos una descripción energética del proceso, podemos definir la energía cinética de una partícula como:



A partir de la cantidad de movimiento, podemos reformular las tres leyes de la dinámica (leyes de Newton) mediante las siguientes expresiones:

2ª ley:



Si el sistema está aislado, es decir, la fuerza o resultante de fuerzas es nula, el momento lineal es contante. Esto constituye el principio de conservación del momento lineal:



3ª ley: El principio de acción-reacción en términos de momento lineal se expresa como:



Una descripción dinámica no se puede limitar a movimientos de traslación o rectilíneos, sino que hay que considerar la posibilidad de movimientos de trayectorias curvilíneas. En estos casos hay que definir nuevas magnitudes:

El momento de una fuerza es el agente dinámico de la rotación, del mismo modo que la fuerza lo es de la traslación. Se define como:



Como producto vectorial, el vector momento es perpendicular a los vectores posición y fuerza, y su módulo es el área del paralelogramo que determinan ambos vectores, como puede verse con mayor detalle en los apuntes de álgebra lineal vistos el año anterior.

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Momento de una fuerza

Para definir el estado de movimiento de un cuerpo que describe un movimiento curvilíneo, se utiliza el concepto de momento cinético o momento angular. Es decir, el momento angular juega el mismo papel en la rotación que la cantidad de movimiento en la traslación. Si se considera una partícula que se mueve con velocidad v y cuya posición respecto al origen de coordenadas está definida por el vector r, el momento angular de dicha partícula está definido por el producto vectorial entre el vector de posición r y el vector momento lineal p:



Por tanto, el enunciado de la segunda ley de Newton para la rotación será: La derivada respecto al tiempo del momento angular de una partícula es igual al momento de la fuerza que actúa sobre ésta:



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Momento angular

En el caso de que dicha fuerza tenga la misma dirección que el vector de posición, el momento de la fuerza es cero y, por ende, el momento angular es constante (conservación del momento angular):



Esta situación se produce en los denominados problemas de campo central, en que el momento angular es una constante de movimiento. Esta condición se cumple en el movimiento de traslación de un planeta alrededor del Sol y en el movimiento de un electrón alrededor de un núcleo.
El momento angular de un cuerpo permanece constante si sobre él no actúan fuerzas o las fuerzas que actúan son centrales. Como el momento angular es constante, lo es tanto en módulo como en dirección y sentido. Por consiguiente, la trayectoria de un punto material que se mueve bajo la acción de una fuerza central es siempre plana.

Las fuerzas centrales son aquellas en las que la dirección de los vectores fuerza pasan por un punto fijo, denominado centro o polo del campo de fuerzas y cuyo módulo es sólo función de la distancia al centro de fuerzas.


2. Introducción



El estudio y la descripción del universo ha sido una constante por parte de la humanidad. Las primeras teorías apuntaban hacia un modelo geocéntrico, desarrollado por Ptolomeo y continuaron con el modelo heliocéntrico desarrollado por Copernico. Entre los astrónomos más destacables figura Ticho Brahe que realizó una serie de medidas muy abundantes y precisas sobre el movimiento planetario. Medidas que le sirvieron a Johannes Kepler (1571-1630) para enunciar sus leyes:
1ª Ley de Kepler: Los planetas alrededor del sol describen órbitas elípticas, estando el sol en uno de sus focos.
2ª Ley de Kepler: El radio vector que une el sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. La velocidad areolar es constante
3ª Ley de Kepler: El período al cuadrado de la órbirta de los planetas es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita descrita



Estas tres leyes tienen que ser consecuencia del tipo de fuerza existente entre el Sol y los distintos planetas. Para ello es necesario un tipo de fuerza central. Calculos teóricos realizados por Isaac Newton le permitieron deducir la conocida como ley de gravitación universal:



Newton demostró posteriormente que sólo las fuerzas que dependen del inverso del cuadrado de la distancia resultan en órbitas elípticas, cumpliéndose además las otras dos leyes de Kepler del movimiento planetario.

El simple análisis de esta fuerza gravitatoria nos permite entender que, aplicada sobre un planeta, produce momentos de fuerza iguales a cero, y por tanto se conserva el momento angular. Lo que demuestra directamente la segunda ley de Kepler.
Para demostrar la tercera ley podemos trabajar con la aproximación de que los planetas del sistema solar, que tienen órbitas de excentricidad pequeña (próxima a cero), describen órbitas esféricas. En estas condiciones, la fuerza gravitatoria hace las veces de fuerza centrípeta:





tras comparar, se deduce que la constante de proporcionalidad de la tercera ley vale:




La electrización por frotamiento fue la primera manifestación eléctrica conocida. El posterior estudio científico determinó que la materia tiene una propiedad que se llamó carga electrica y que era la responsable de esos fenómenos. Científicos destacados al respecto fueron Gilbert y particularmente Coulomb. A él se debe la expresión que gobierna dichas interacciones y que se conoce con el nombre de ley de Coulomb:




3. Ley de gravitación universal. Ley de Coulomb.



Los campos gravitatorio y eléctrico son campos de fuerza centrales y, por tanto, conservativos. Matemáticamente la ley de Newton de la gravitación y la ley de Coulomb de la electrostática son idénticas: es el producto de una constante por el cociente constituido por el producto de las masas (o cargas) dividido por el cuadrado de la distancia que las separa.

Ley de gravitación universal:



Ley de Coulomb:



En una distribución arbitraria de cargas la fuerza que ejerce una carga sobre otra es independiente de las fuerzas que ejerzan las demás. Éste es el enunciado del principio de superposición:



4. Energías potenciales en los campos gravitatorios y eléctricos.



Debido a que ambas fuerzas son conservativas el trabajo realizado es independiente de la trayectoria seguida, es decir, no depende más que de los puntos inicial y final del mismo. Se puede definir una energía potencial asociada:



La energía potencial en un punto se define como el trabajo cambiado de signo realizado por las fuerzas del campo para ir desde el origen de potenciales hasta dicho punto. En esta descripción supondremos que el origen de energías potenciales es el infinito.

Recordemos que el concepto de integral y su cálculo ya fue introducido el año pasado.

La energía potencial gravitatoria vale:





siendo MT la masa de la Tierra, y RT el radio de la misma.

Y la energía potencial eléctrica:



siendo e la constante dieléctrica o permitividad relativa del medio.


5. Vector intensidad de campo. Concepto de potencial.



Con la intención de poder explicar el concepto de acción a distancia, aparece el concepto de campo.

Campo es la región del espacio que cumple que en todos y cada uno de sus puntos existe una determinada propiedad. Ejemplos: campo de temperaturas, campo de presiones, campo de velocidades, campo de fuerzas...

Llamaremos campo vectorial cuando su magnitud representativa es un vector.

Campo gravitatorio es aquella región del espacio tal que en cada uno de sus puntos existe una propiedad gravitatoria llamada g y que se define como la fuerza por unidad de masa. Para poner de manifiesto dicho campo gravitatorio es necesario la existencia de una masa de prueba (m) colocada en dichos puntos. Se puede entender como una deformación del espacio producida por la masa (M)



Campo eléctrico es aquella región del espacio tal que en cada uno de sus puntos existe una propiedad electrostática llamada E y que se define como la fuerza por unidad de carga. Para poner de manifiesto dicho campo eléctrico es necesario la existencia de una carga testigo(q) colocada en dichos puntos. Se puede entender como una deformación del espacio producida por la carga (Q)



Ambos vectores cumple con el principio de superposición, al igual que la fuerza.

Sin existir contacto entre dos cuerpos, la mera presencia de uno de ellos produce la aparición de una fuerza que actúa sobre el otro.

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Representación conceptual del efecto de un campo


Una característica importante del campo gravitatorio es que los cuerpos que se mueven bajo la acción exclusiva de un campo gravitatorio experimentan una aceleración que no depende ni del material ni del estado físico del cuerpo. De hecho, g es la intensidad de campo gravitatorio y la aceleración de la gravedad. Esto es debido a que la misma cualidad del cuerpo se interpreta como inercia o gravedad según las circunstancias.

Llamaremos campo escalar al campo en el que su magnitud representativa es un escalar.

El potencial en un punto de un campo gravitatorio se define como la energía potencial gravitatoria que posee la unidad de masa (1 Kg) colocada en dicho punto.



El potencial en un punto de un campo eléctrico es igual numéricamente a la energía potencial que posee la unidad de carga positiva, por estar situada en ese punto.



El potencial también cumple el principio de superposición y la relación entre el campo y el potencial es que el campo es la derivada primera del potencial cambiada de signo E = - dV/dx.


Por tanto, podemos decir que el potencial en un punto de un campo es el trabajo, cambiado de signo, que realizan las fuerzas del campo cuando la unidad de magnitud activa se traslada desde el infinito hasta dicho punto. Para el campo eléctrico:



Conclusiones:
  • Las cargas positivas se desplazan espontáneamente (trabajo positivo) hacia potenciales decrecientes dicho de otro modo, cuando una carga positiva se sitúa en una campo eléctrico, acelera en la dirección del campo aumentando su energía cinética y disminuyendo su energía potencial.
  • Las cargas negativas, en cambio, van a potenciales crecientes.

Por ejemplo, para una carga positiva (q > 0) que se desplaza espontáneamente desde el punto 1 al 2, el trabajo realizado por las fuerzas del campo será:




6. Representación del campo: líneas de campo y superficies equipotenciales



Las representaciones de los campos vectoriales utilizan las denominadas líneas de campo, que se definen de modo que en cada punto son tangentes al vector campo en dicho punto. En muchos campos físicos las líneas de campo nacen o se crean en algunos puntos (fuentes del campo), mientras que en otros puntos desaparecen o mueren (sumideros del campo).

Las representaciones de los campos escalares utilizan las denominadas superficies equipotenciales, que se definen como las superficies que contienen todos los puntos con el mismo valor del potencial.

Para un campo dado las superficies equipotenciales son perpendiculares en cada punto a las líneas del campo.

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Líneas de campo y superficies equipotenciales

Como todo campo de fuerzas, el campo gravitatorio y el campo eléctrico se representan mediante líneas de campo y superficies equipotenciales.
  • Las masas son sumideros del campo (las líneas de fuerza mueren o desaparecen en el punto en que están situadas).
  • Las cargas positivas son fuentes del campo (de ahí salen líneas de fuerza) y las cargas negativas son sumideros (ahí van a parar líneas de fuerza).

Las líneas de fuerza cumplen que:

  • Van de cargas positivas a cargas negativas (o bien desde las cargas positivas hasta el infinito, o del infinito a las cargas negativas).
  • Simetría alrededor de las cargas.
  • Número proporcional a la carga creadora del campo.
  • Densidad proporcional al módulo del campo eléctrico.
  • A suficiente distancia el comportamiento equivale a la carga neta (esfera cargada).
  • Las líneas de campo nunca se cortan.

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Líneas de campo en presencia de una o más cargas



7. Teorema de Gauss.


El flujo a través de una superficie se define como el número de líneas de campo que lo atraviesan. Y nos permite establecer una relación entre la densidad de líneas de campo y la intensidad de dicho campo.



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Flujo de un campo vectorial según el punto P está contenido o no en la superficie S

De acuerdo con el teorema de Gauss, el flujo del campo gravitatorio (eléctrico) a través de una superficie cerrada es proporcional a la masa (carga) contenida dentro de la superficie, siendo la constante de proporcionalidad -4πG, si gravitatorio y 1/e0, si eléctrico.

En el caso de un campo gravitatorio, el flujo vale:



Y en el caso de un campo eléctrico:





8. Campo eléctrico creado por un elemento continuo: hilo y placa.


Aplicando el teorema de Gauss podemos deducir las ecuaciones correspondientes al campo eléctrico para distintas distribuciones de carga. Nos centraremos en los casos del campo creado por un hilo conductor cargado de longitud infinita y del campo creado por un plano infinito cargado uniformemente.

El campo creado por un hilo conductor infinitamente largo, de densidad lineal lambda, a una distancia r del mismo es:



En el caso de un campo creado por una distribución plana, indefinida y uniforme, con densidad superficial de carga, sigma:




9. Campo eléctrico creado por una carga o masa esférica.


Una de las motivaciones que tuvo Newton para desarrollar el cálculo diferencial fue la de demostrar que el campo gravitatorio en un punto exterior de una esfera maciza es el mismo que se obtendría si toda la masa de la esfera estuviera concentrada en su centro.

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Masa o carga esférica

Aplicando el teorema de Gauss se puede demostrar que los campos creados por distribuciones de carga o masa esféricas vienen dados por:

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Campos creados por cortezas esféricas y esferas macizas



10. Consecuencias: aplicaciones gravitacionales.



Para analizar cómo poner satélites en órbita, debemos recordar primero ciertos conceptos importantes acerca de la energía. Por definición, el trabajo se define como:



que se conoce como teorema de las fuerzas vivas. Luego:



donde hemos tenido en cuenta la definición de trabajo conservativo. Despejando el trabajo no conservativo obtenemos que:



que constituye el principio de conservación de la energía. Si el trabajo no conservativo es nulo, entonces:



que es el principio de conservación de la energía mecánica.

Un ejemplo de fuerzas no conservativas (para las cuales no se puede definir una función de energía potencial) son las fuerzas de rozamiento. Cuando en un sistema físico entran en juego fuerzas de rozamiento, la energía mecánica disminuye porque parte del trabajo no se puede recuperar al disiparse en forma de calor. Así que es la suma de la energía mecánica más la energía térmica lo que es constante. También son fuerzas no conservativas las fuerzas que originan tensiones en los sólidos: cuando se dobla hacia arriba y hacia abajo una percha se realiza un trabajo, pero no éste no se manifiesta como energía mecánica, sino que se produce un calentamiento del alambre. Lo mismo ocurre con las reacciones químicas, como el proceso de combustión de un cohete que queremos poner en órbita.

El trabajo total para poner en órbita un satélite es la suma del trabajo de llevarlo hasta una cierta altura sobre la superficie terrestre y el trabajo de hacerlo orbitar. Dado que el trabajo de los motores es un trabajo debido a una reacción química, se trata de trabajo no conservativo. Por tanto:



El estado 1 representa el momento en que el satélite parte de la superficie terrestre y el estado 2 es cuando se sitúa en órbita y gira siguiendo un movimiento circular uniforme. Las únicas fuerzas que participan en el trayecto de 1 a 2 son la del motor y la gravitatoria. Luego el trabajo del motor es:



Para obtener la velocidad orbital de un satélite que orbita la Tierra:



Y como la aceleración de la gravedad cumple la relación:



nos queda:



Generalizando, podemos decir que el trabajo para poner en órbita un satélite es el trabajo de subir el satélite hasta su órbita, más el trabajo de hacerlo orbitar. Ahora bien, una vez arriba, la energía total del satélite será, como siempre, la suma de su energía cinética más su energía potencial:




Como caso particular podemos planternos calcular la velocidad mínima inicial necesaria para que un cuerpo escape del campo gravitatorio de la Tierra, la llamada velocidad de escape.

Si proyectamos un cuerpo hacia arriba desde la Tierra con cierta energía cinética inicial, a medida que el cuerpo asciende su energía potencial crece y su energía cinética disminuye. Es decir, situar un satélite en órbita es realizar trabajo en contra de las fuerzas del campo, porque la fuerza del campo siempre tiene aquella dirección que acelera la partícula hacia la menor energía potencial. Si lo que queremos es que el cuerpo escape, deberá llegar al infinito con velocidad nula (ya que durante el trayecto la fuerza de atracción gravitatoria ejercida por la Tierra hará que disminuya la velocidad del cuerpo). Si el origen de potenciales lo tomamos en el infinito:



Con lo que nos queda:



Cabe destacar que la velocidad de escape no depende de la masa del cuerpo que escapa, sino de la masa del planeta, el cuerpo que crea el campo. En el caso de la Tierra la velocidad de escape es de 11.2 km•s-1. Un cuerpo con esta velocidad escapará de la Tierra. Si el cuerpo escapa, se dice que es un sistema no ligado que cumple que la energía es mayor o igual que cero, y alcanza una distancia infinita con cierta velocidad si E > 0 o en reposo si E = 0.

Tipo de órbita
Energía
Situación
Elíptica
E < 0
No escapa
Parabólica
E = 0
Escapa
Hiperbólica
E > 0
Escapa

En el caso de que el móvil escape, tal y como hemos dicho antes, el sistema será no ligado. Si el móvil no escapa se dice que tenemos un sistema ligado. La energía cinética de un cuerpo a la distancia r del centro de la Tierra es E – U(r). Cuando la energía total es menor que cero (E1) la energía cinética es cero para r = rmax y el cuerpo está ligado a la Tierra. Cuando la energía total es mayor que cero (E2) el cuerpo puede escapar de la Tierra.

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Energía en función de la distancia




11. Consecuencias: aplicaciones electrostáticas.



Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas eléctricas +q y –q separadas una distancia r. Esta distribución de cargas se representa mediante un vector, el momento dipolar eléctrico, d = qr, dirigido desde la carga negativa a la positiva. También pueden existir cuadrupolos, octupolos… Específicamente, un multipolo de orden n es una red de cargas puntuales con un momento n-polar, pero sin un momento inferior. Así, un monopolo es una carga puntual y el momento monopolar es la carga total. Un dipolo es una red de cargas que no tiene momento monopolar (no tiene carga neta). Un cuadrupolo consiste en una red de cargas puntuales que no tiene ni carga neta ni momento dipolar. Un octupolo consiste en una red de cargas que no tiene ni carga neta, ni momento dipolar, ni momento cuadrupolar:

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Distribuciones de carga

Por otro lado, la conservación de la carga puede ilustrarse mediante un método simple de cargar un conductor llamado carga por inducción. Dos esferas metálicas sin carga están en contacto. Al acercar a una de las esferas a una barra cargada, los electrones (cargas negativas) fluyen de una esfera a la otra, acercándose a la barra si ésta se encuentra positivamente cargada o alejándose si su carga es negativa. Si la barra está cargada positivamente atrae a los electrones cargados negativamente y la esfera más próxima a la barra adquiere electrones de la otra. La esfera más próximo adquiere por tanto carga negativa y la más alejada queda con una carga neta igual, pero positiva. Cuando en un conductor se separan cargas iguales y opuestas se dice que está polarizado. Si las esferas se separan antes de retirar la barra, quedarán con cantidades iguales de cargas opuestas. Un resultado semejante se obtiene con una barra cargada negativamente: los electrones pasarían de la esfera próxima a la más alejada.

Con la figura siguiente podemos entender mejor la carga por inducción: (a) Los dos conductores esféricos en contacto adquieren cargas opuestas, pues la barra cargada positivamente atrae los electrones hacia la esfera de la izquierda dejando la esfera de la derecha con cargas positivas. (b) Si las esferas se separan sin mover la barra de su posición, las esferas retienen sus cargas iguales y opuestas. (c) Si la barra se retira y las esferas se separan, éstas quedan uniformemente cargadas con cargas iguales y opuestas.

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Carga por inducción

El hecho de que existan cargas positivas y negativas da lugar a una gran variedad de situaciones dentro de los campos electrostáticos que no tienen parangón en el campo gravitatorio. De ello depende, por ejemplo, la enorme diversidad de sustancias materiales que, a su vez, presentan propiedades eléctricas muy diferentes. Así, hay conductores, que permiten el movimiento de los electrones en su seno, y aislantes o dieléctricos, en los que esto no es posible.

En un conductor, el campo y la carga dentro del mismo son nulos. Todo el volumen, y también la superficie del conductor, están al mismo potencial; y si la superficie es una equipotencial, el campo justo en el exterior debe ser perpendicular a la misma. La aplicación del teorema de Gauss nos indica que el campo eléctrico en la superficies de un conductor es:



siendo s la densidad de carga superficial, y teniendo en cuenta el vector unitario normal a la superficie del conductor.

Cuando un conductor se carga con una carga q adquiere un potencial V, y la validez del principio de superposición garantiza que, si la carga se duplica, triplica, etc…, también lo hará el potencial. Esto es, la carga y el potencial de un conductor son proporcionales, q = C·V , y la constante de proporcionalidad C se conoce como la capacidad del conductor, que se mide en faradios (F).

Cuando dos conductores se cargan con cargas opuestas y su posición relativa es tal que todas las líneas de campo que nacen del conductor positivo mueren en el negativo, decimos que tenemos un condensador; denominación que deriva de la capacidad de este sistema para concentrar (condensar) energía eléctrica en un espacio reducido.

En la práctica se emplean dispositivos abiertos, tales como el condensador plano. Este elemento consta de dos armaduras planas paralelas de sección S separadas por una distancia d. De acuerdo con el teorema de Gauss, el valor del campo es:



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(a) Condensador plano. (b) La capacidad de un condensador aumenta al introducir un dieléctrico.

La diferencia de potencial entre las armaduras nos da el valor de la carga:



Y la capacidad del condensador resulta:



Consideremos finalmente el proceso gradual de carga de un condensador llevando las cargas desde la armadura cuyo potencial tomamos como cero hasta la que tiene un potencial final V. Si en un instante determinado la diferencia de potencial vale V', para trasladar una carga dq realizaremos un trabajo dW =V'·dq:



Este trabajo realizado representa una energía U almacenada en el condensador que puede ser asociada al campo eléctrico: