UNIDAD. ELEMENTOS DE FÍSICA RELATIVISTA.




Objetivos de la Unidad



- Conocer los principios básicos de la relatividad galileana y sus consecuencias.
- Entender las dificultades que aparecían cuando se quería adaptar la relatividad galileana a la electrodinámica de Maxwell.
- Conocer la experiencia de Michelson y Morley y entender que de su fracaso nació la teoría de la relatividad.
- Asumir que la relatividad especial gira en torno a sistemas de referencia que se mueven con velocidad relativa constante (sistemas inerciales).
- Entender el esfuerzo de abstracción con respecto a la realidad cotidiana que supone la teoría de la relatividad.
- Conocer y entender los dos postulados de la teoría de la relatividad.
- Conocer y entender la relatividad de los conceptos tiempo y simultaneidad. El tiempo es relativo y el intervalo de tiempo entre dos sucesos depende del sistema de referencia.
- Concluir que la relatividad en el tiempo es una de las claves de la invalidez de las transformaciones galileanas cuando se aplican a la electrodinámica.
- Concluir que la relatividad en el tiempo es consecuencia de la existencia de una velocidad límite en la transmisión de señales.
- Saber relacionar la relatividad del tiempo con la relatividad del espacio.
- Conocer la expresión que permite calcular la relatividad temporal (dilatación del tiempo).
- Conocer la expresión que permite calcular la relatividad espacial (contracción de longitudes).
- Conocer y entender la paradoja de los gemelos.
- Entender y asumir que los principios en los que se sustenta la dinámica de Newton tienen que replantearse por estar en contradicción con la teoría de la relatividad.
- Conocer las consecuencias que deben aplicarse a la masa relativista.
- Conocer las expresiones que permiten calcular la masa relativista y el momento relativista.
- Conocer la expresión que permite calcular la energía cinética de un cuerpo que se mueve a velocidades relativistas.
- Conocer y entender la equivalencia masa-energía y la expresión que la caracteriza.
- Resolver con corrección cuestiones y problemas relacionados con los contenidos explicados.
- Dominar las unidades correspondientes.


1. Introducción. Antecedentes de la relatividad especial



La Teoría de la Relatividad es, junto con la Mecánica Cuántica, la otra gran Teoría física surgida en el siglo XX para adaptar la Mecánica Clásica a las nuevas necesidades y aspiraciones de la Humanidad. La Teoría de la Relatividad se compone de dos teorías bastante diferentes.

La Teoría Especial (1905) se refiere esencialmente a la comparación entre las medidas realizadas en diferentes sistemas de referencia inerciales que se mueven con velocidad constante unos respecto de otros y sus consecuencias fundamentales son la constancia de la velocidad de la luz en el vacío, la dilatación del tiempo y la contracción de longitudes. En resumen, no puede detectarse el movimiento absoluto, uniforme; y la velocidad de la luz es independiente del movimiento del foco (todos los observadores miden el mismo valor para la velocidad de la luz con independencia del movimiento relativo de los focos y de los observadores: ellos continuarán, no obstante, discrepando acerca de la distancia recorrida por la luz, pero también deberán discrepar en el tiempo empleado).

Esto implica que se elimina el concepto de simultaneidad universal: ya no es posible que dos observadores de diferentes marcos de inercia estén de acuerdo sobre si dos sucesos son o no simultáneos. Los tiempos de dos personas coincidirían si y sólo si ambas estuvieran en reposo la una respecto a la otra, pero no si estuvieran desplazándose la una con relación a la otra. Esto ha sido confirmado en numerosos experimentos, en uno de los cuales se hizo volar alrededor de la Tierra y en sentidos opuestos dos relojes muy precisos que, al regresar, indicaron tiempos ligerísimamente diferentes. El reloj que va en el avión que vuela hacia el oeste indica un tiempo más largo que el reloj idéntico que viaja en la dirección opuesta. Para los pasajeros del avión que vuela hacia el este (donde la velocidad del avión se suma a la de la rotación terrestre), el tiempo es más corto que para los del avión que vuela hacia el oeste.

La Teoría General (1916) trata con sistemas de referencia acelerados y con la gravedad, y una de sus más importantes consecuencias es que los rayos de luz en el seno de campos gravitatorios se propagan en general según líneas curvas (aún cuando una reflexión detenida demuestra que la curvatura que predice la Teoría para los rayos luminosos es ínfima en el caso de los campos gravitatorios que nos brinda la experiencia, asciende a 1.7 segundos de arco para rayos de luz que pasan por las inmediaciones del Sol). En resumen, un campo gravitatorio homogéneo es completamente equivalente a un sistema de referencia uniformemente acelerado. Este principio surge de la Mecánica Newtoniana debido a la aparente identidad entre masa inercial y masa gravitatoria: en un campo gravitatorio uniforme, todos los objetos caen con la misma aceleración g independientemente de su masa ya que la fuerza gravitatoria es proporcional a la masa (gravitatoria) mientras que la aceleración varía inversamente con la masa (inercial), tal y como se explicó al estudiar el concepto de potencial en el primer tema de campos.

El gran avance de la Teoría General de la Relatividad respecto a la Teoría Especial es que incluye la gravedad. Einstein unificó el espacio y el tiempo en una sola entidad denominada espacio-tiempo, con propiedades que producen efectos curiosos e insólitos. La gravedad, en lugar de ser considerada como una fuerza, es atribuida en la Teoría de la Relatividad a la estructura geométrica del espacio-tiempo. La presencia de un cuerpo gravitante curva el espacio-tiempo de su entorno y es esta curvatura, en vez de alguna fuerza o acción debida al mismo cuerpo, lo que perturba las trayectorias de los demás cuerpos al moverse por el espacio que lo rodea. De hecho, puede considerarse el espacio-tiempo como elástico. No sólo puede ser doblado o curvado por un cuerpo masivo, sino que también puede ser torcido o estirado como si de una goma se tratase. Algunos físicos creen incluso que si se tuerce o estira con demasiada violencia el espacio y el tiempo pueden separarse súbitamente. El tiempo elástico puede producir efectos extraños, como la posibilidad de viajar al futuro o el aparente cese de actividad durante un colapso gravitatoria, como ocurre en los agujeros negros.

En muchos casos deberemos trabajar en un espacio cuadridimensional, con tres coordenadas espaciales (x, y, z) y una coordenada temporal (t). El problema de la N-dimensionalidad del espacio (es decir, necesitamos más de las tres coordenadas cartesianas habituales para explicar muchos fenómenos) ya lo visualizó Einstein en su Teoría de la Relatividad, y se basó en las ideas de Minkowski. El mundo de Minkowski cabe contemplarlo formalmente como un espacio euclídeo cuadridimensional (con coordenada temporal imaginaria; de otro modo, la coordenada temporal no sería equivalente a las tres direcciones espaciales). La transformación de Lorentz, que relaciona las leyes de la Naturaleza que sigue un suceso respecto a diferentes cuerpos de referencia (sistemas de coordenadas), se corresponde con una “rotación” del sistema de coordenadas en el “universo” cuadridimensional.

Los antecedentes de la teoría de la relatividad especial podemos concretarlos en dos:


Con respecto a la relatividad galileana:

El movimiento se define como la variación de la posición de un punto del espacio en cada instante de tiempo.
La posición de un punto está determinada por la cuantía de la distancia y la orientación (dirección y sentido). Se representa mediante un vector. Dicho vector hay que referirlo a un sistema de referencia centrado en un punto donde está el observador. En nuestro caso, es un sistema de referencia cartesiano y ortonormal (vectores de la base perpendiculares entre sí y de módulo unidad).

Un conjunto de sistemas coordenados en reposo relativo entre sí se denomina sistema de referencia. Un sistema en el que son válidas las leyes de Newton se denomina sistema de referencia inercial. Todos los sistemas de referencia que se mueven con velocidad constante respecto a un sistema de referencia inercial son también sistemas de referencia inerciales. Si tenemos dos sistemas de referencia inerciales que se mueven con velocidad constante uno respecto al otro no existe ningún experimento mecánico que pueda decirnos cuál está en reposo y cuál está en movimiento, o si ambos están moviéndose. Es decir, no puede detectarse el movimiento absoluto. Esto es precisamente lo que postula la Primera Ley de Newton, que no distingue entre una partícula en reposo y otra partícula que se está moviendo con movimiento rectilíneo uniforme (MRU).

En Dinámica se define un vector de posición r tal que su extremo está en un punto dado y su origen en el origen de coordenadas:



Si cambia la posición del origen de coordenadas (de O a O'), el vector de posición es diferente.

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Vector de posición en diferentes sistemas de coordenadas.

Cuando se describe un movimiento lo importante es cómo se desplaza ese punto en el espacio. El desplazamiento es la diferencia entre la posición en cierto instante de tiempo y la posición previa, y es independiente de la posición del observador (sea en O o en O'):



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Desplazamiento de un punto en el espacio.


Un aspecto interesante es el movimiento relativo. Se trata del estudio de la influencia del movimiento del sistema de referencia sobre un cuerpo inmóvil al aplicar las leyes de Newton. En la siguiente figura O' se desplaza describiendo un MRU, y O permanece en reposo. El movimiento del vector de posición visto por ambos es diferente: r = r(t) y r' = r'(t), respectivamente. Así, la posición relativa (sistema móvil, r'), respecto de la posición absoluta (sistema fijo, r) y de la posición de O'(R), viene dada por:

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Movimiento relativo.

Supongamos que a tiempo cero, O y O' coinciden en el espacio. Si sólo existe movimiento en el eje x:


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Relación entre coordenadas de diferentes cuerpos de referencia.

Por tanto, las transformaciones galileanas de las coordenadas de posición entre dos sistemas com movimento relativo uniforme son:
x' = x - v·t
y' = y
z' = z
siempre que supongamos que t' = t.
La idea que del tiempo tiene la mecánica clásica se resume en la igualdad anterior: el tiempo es una realidad absoluta y transcurre por igual en todos los sistemas de referencia

Con respecto a las coordenadas de la velocidad, tenemos que:

Por tanto, si elegimos la dirección del eje X como la del movimeinto relativo:
v'x = vx - V
v'y = vy
v'z = vz
La velocidad es variable al pasar de un sistema de referencia inercial a otro

Las tres coordenadas cartesianas de la aceleración son iguales y la velocidad es constante. Se trata de un sistema inercial: son válidas las leyes de Newton y no se puede distinguir entre el reposo y el MRU (ley de la inercia).

La aceleración es invariable en los sistemas de referencia inerciales


Si el sistema móvil O' no describe un MRU (sistema no inercial) y se mueve con velocidad variable, entonces se cumple que:




Con lo que aparece un término de aceleración inercial del sistema móvil respecto al sistema fijo. Se trata de un sistema no inercial porque:



ya que en realidad:



No cumple las leyes de Newton, por lo que es necesario introducir las fuerzas de inercia. Definimos una fuerza de inercia ficticia:



de tal modo que:




La fuerza de inercia depende del movimiento del sistema, no del móvil. Se suma a las fuerzas reales para producir un movimiento relativo, provocando una aceleración en el sistema móvil; y sus efectos son medibles, si bien no se trata de una fuerza real.

Vamos a analizar otro caso muy parecido al que hemos comentado antes. La diferencia radica en que ahora vamos a incluir también la variable tiempo para definir la posición de un punto en el espacio. Supongamos que un sistema de referencia móvil S' se desplaza respecto a otro sistema fijo S con un movimiento rectilíneo y uniforme de velocidad V (velocidad de arrastre). Según la Mecánica Clásica, un punto material P que se mueva respecto al sistema S' con una velocidad v' poseerá una velocidad absoluta respecto al sistema fijo S igual a v = v'+V, verificándose que a = a' ya que la velocidad de arrastre es constante. Tal y como ya hemos dicho:

Es imposible determinar mecánicamente si un sistema está en reposo o animado de un movimiento rectilíneo y uniforme.

Si el sistema S' se desplaza paralelamente al eje de abscisas en sentido positivo y con una velocidad v, las coordenadas del punto P respecto a los dos sistemas de referencia verificarán las relaciones:
x = x' + v·t
y = y'
z = z'
t = t'

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Otro caso de movimiento relativo.

Es decir, hay igualdad en todas las coordenadas espacio-temporales salvo en el eje x, que es dónde tiene lugar el movimiento de S' respecto de S a velocidad constante v, por lo que respecto a S' el sistema S se está moviendo con velocidad constante –v.

El origen de tiempos se ha tomado en el instante en que coinciden los orígenes de los dos sistemas de referencia, S y S'. La última igualdad, t = t', hace posible establecer la simultaneidad de dos sucesos, aunque sean contemplados por observadores diferentes.

En la Mecánica Clásica de Galileo el tiempo es absoluto, pues su valor es independiente del observador. El espacio, en cambio, no siempre lo es, pues la distancia entre dos sucesos que en el sistema S tienen lugar en los puntos x1 y x2 en los instantes y , respectivamente, será x1 - x2 , mientras que en el sistema de referencia S' su valor es:



Sólo coincidirán ambas distancias cuando t1 = t2. En consecuencia:

Según la Mecánica Clásica, el espacio es absoluto para los sucesos simultáneos, pero no lo es para los no simultáneos. Por el contrario, el tiempo siempre es absoluto.

Se puede suponer igualmente que el cuerpo A está en reposo y que el cuerpo B se mueve a velocidad constante con respecto de A, o que el B está en reposo y es el cuerpo A el que se mueve. Por ejemplo, si uno se olvida momentáneamente de la rotación de la Tierra y de su órbita alrededor del Sol, puede suponer que la Tierra está en reposo y que un tren sobre ella está viajando hacia el norte a una velocidad de 140 kilómetros por hora, o se puede decir igualmente que el tren está en reposo y que la Tierra se mueve hacia el sur a 140 kilómetros por hora. Si se realizaran experimentos en el tren con objetos que se movieran comprobaríamos que todas las leyes de Newton seguirían siendo válidas. Por ejemplo, al jugar al ping-pong en el tren encontraríamos que la pelota obedece las leyes de Newton exactamente igual a como lo haría en una mesa situada junto a la vía. Por consiguiente no hay forma de distinguir si es el tren o es la Tierra lo que se mueve.

La falta de un estándar absoluto de reposo significa que no se puede determinar si dos sucesos que ocurren en tiempos diferentes han tenido lugar en la misma posición espacial. Por ejemplo, supongamos que en el tren nuestra bola de ping-pong está botando, moviéndose verticalmente hacia arriba y hacia abajo y golpeando la mesa dos veces en el mismo lugar con un intervalo de un segundo. Para un observador situado junto a la vía los dos botes parecerán tener lugar con una separación de unos cuarenta metros, ya que el tren habrá recorrido esa distancia entre ambos botes. Así pues, la no existencia de un reposo absoluto implica que no se puede asociar una posición absoluto en el espacio con un suceso, tal y como Aristóteles postulaba. Las posiciones de los sucesos y la distancia entre los mismos serán diferentes para una persona en el tren y para otra que esté junto a la vía, y no existe razón lógica para preferir el punto de vista de una de las personas frente al de la otra.


2. Relatividad especial. Postulados



La naturaleza de la luz fue un tema de duro debate durante siglos, sobre todo desde el siglo XVI. Con los autores modernos se divide la consideración de la naturaleza de la luz en dos corrientes. Algunos, como Descartes, Huygens y Hooke, que la consideraban un fenómeno ondulatorio; y otros, como Newton, Descartes y Boyle, que consideraban la luz como formada por partículas luminosas emitidas por los cuerpos.

La autoridad de Newton motivó la preponderancia de la teoría corpuscular sobre la ondulatoria en un principio (pese a la oposición de importantes científicos como Bernouilli y Euler), pero poco a poco fue imponiéndose la teoría ondulatoria, especialmente durante el siglo XIX, en gran medida por los trabajos de Fresnel. Además, Foucault demostró a mediados del siglo XIX que la velocidad de la luz en el agua era menor que en el aire, en franca contradicción con la teoría corpuscular. Esto suponía la existencia de un sustrato material como un fluido muy sutil denominado éter luminoso que llenaba el espacio vacío. El éter ya había sido propuesto por Huygens y se remontaba a las ideas griegas y medievales sobre la naturaleza de los cuerpos celestes. Igual que el sonido se propaga por el aire, la luz se propagaba por el éter, cuyas vibraciones constituían la luz.

Sin embargo, para entender la naturaleza de la luz los físicos tuvieron que empezar a relacionar los fenómenos ópticos con otras áreas. En 1819 Oersted demostró experimentalmente las acciones mutuas entre corrientes eléctricas e imanes, observando que una aguja magnética se desviaba de su posición inicial al situarse en la proximidad de un conductor por el que circulaba una corriente eléctrica. Experiencias posteriores, realizadas por Faraday , Ampère y Henry, dieron origen al electromagnetismo.

La unificación de la electricidad y el magnetismo ya se vislumbraba en los resultados de Oersted y Faraday. Pero fue J.C. Maxwell quien publicó una serie de trabajos decisivos a este respecto (A dynamical theory of the electric field, 1864; Treatise on Electricity and Magnetism, 1873). Sus investigaciones le llevaron a afirmar que la luz era una perturbación en forma de ondas propagadas a través del campo electromagnético, unificando la óptica y el electromagnetismo. Maxwell predijo la existencia de ondas electromagnéticas con frecuencias por debajo y por encima de las correspondientes al espectro de luz visible. El éter luminoso se convertía ahora en el éter electromagnético. A la sazón se creía que el éter tenía unas propiedades asombrosas: una gran elasticidad y rigidez que hiciera posible la propagación de ondas transversales y una densidad despreciable que permitiera a la luz propagarse por él a una velocidad tan elevada. La velocidad de cualquier objeto relativa al éter se consideró como su velocidad absoluta.

El primer paso hacia una teoría moderna de la luz se dio en las postrimerías del siglo XIX. En 1887, Albert Michelson y Edward Morley decidieron medir la velocidad de la Tierra respecto al éter mediante un ingenioso experimento en el cual la velocidad de la luz respecto a la Tierra se comparaba entre dos haces luminosos, uno en la dirección del movimiento de la Tierra relativo al Sol y otro perpendicular a la dirección del movimiento terrestre. Dado que se suponía que la Tierra se movía a través del éter en su órbita alrededor del Sol, la velocidad de la luz medida en la dirección del movimiento de la Tierra a través del éter (cuando nos estuviéramos moviendo hacia la fuente luminosa) debería ser mayor que la velocidad de la luz en la dirección perpendicular. Sin embargo, nunca se pudo detectar la menor diferencia: el movimiento absoluto de la Tierra respecto al éter no pudo ser detectado. En otras palabras, el éter no existía.

Al intentar adaptar las transformaciones galileanas a la electrodinámica desarrollada por Maxwell surgía un problema. Según Maxwell la velocidad máxima a la que pueden propagarse las perturbaciones electromagnéticas coincide con la velocidad de la luz en el vacío, por lo tanto, ¿cambiaría la velocidad de la luz medida por un observador en movimiento con velocidad v a otro que estuviera en reposo?

En 1905, Albert Einstein publicó su artículo revolucionario sobre la relatividad especial donde tomaba como postulado la constancia de la velocidad de la luz para cualquier sistema de referencia (dicho de otro modo, todo observador mide el mismo valor para la velocidad de la luz con independencia del movimiento relativo del foco y del observador). En este artículo postulaba que el movimiento absoluto no podría detectarse por ningún tipo de experimento, por lo que era de esperar el resultado nulo del experimento de Michelson-Morley.

Su Teoría de la Relatividad Especial puede deducirse de dos postulados:

El primero tiene que ver con la imposibilidad de encontrar sistemas de referencia en reposo absoluto y dice:
Todas las leyes físicas se cumplen por igual en todos los sistemas de referencia inerciales

El segundo está relacionado con el hecho de que la velocidad de la luz no sufre modificaciones aunque las fuentes emisoras estén en movimiento y dice:
La velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas de referencia inerciales, y además es independiente del movimiento de la fuente emisora y del observador


3. Consecuencias de los postulados.



Cualquier suceso, dondequiera que ocurra, viene fijado espacialmente respecto a un sistema de coordenadas K por las tres coordenadas espaciales (x,y,z) y por la coordenada temporal t. Ese mismo suceso viene fijado espacio-temporalmente respecto a otro sistema de coordenadas K' por las coordenadas (x',y',z',t') que como es lógico no coinciden con las anteriores. Es evidente que el problema que tenemos planteado se puede formular exactamente de la manera siguiente: dadas las cantidades (x,y,z,t) de un suceso respecto a K, ¿cuáles son los valores (x',y',z',t') respecto a K'?

Las ecuaciones de la transformación de Galileo no son consistentes con los postulados de Einstein, y hemos de recurrir a la transformación de Lorentz. Para ello añadimos un factor g tal que:



donde tenemos en cuenta que el sistema K' se está moviendo a lo largo del eje x con velocidad V relativa al sistema K. Además, los postulados de Einstein exigen que se cumpla que x = c·t en el sistema K, y que x' = c·t' en el sistema K'. En nuestros ejemplo se cumplirá que y = y' y z = z', y además:









Si V <<< c las transformaciones de Galileo y de Lorentz son equivalentes. Para la velocidad tendríamos:









Y dividiendo numerador y denominador por el incremento del tiempo:



Las transformaciones de Lorentz demuestran matemáticamente el postulado II de Einstein: la velocidad de la luz es constante e independiente del movimiento del foco emisor. Si un cuerpo se desplaza con respecto a K a la velocidad de la luz (c), su velocidad respecto a K' también será c.

Las conclusiones que extraemos de estos razonamientos son las siguientes:

  1. La velocidad de la luz en el vacío, c, es la misma para todos los sistemas de referencia inerciales, con independencia de su movimiento relativo.
  2. La velocidad de la luz constituye un límite insalvable. No existe ningún cuerpo que pueda desplazarse a velocidades mayores que la de la luz, con independencia del sistema de referencia elegido.


3.1. Dilatación del tiempo.



El tiempo propio es el intervalo de tiempo entre dos sucesos que se producen en el mismo punto en un cierto sistema de referencia. Ergo, puede medirse con un solo reloj. Sin embargo, en otro sistema de referencia que se mueve con respecto al primero los dos mismos sucesos ocurren en lugares diferentes, de modo que se necesitan dos relojes para registrar los tiempos. El tiempo o instante de cada suceso se mide con un reloj diferente y el intervalo se halla por sustracción. Este procedimiento exige que ambos relojes estén sincronizados.

Dos relojes sincronizados en un sistema de referencia no están sincronizados en ningún otro sistema que se mueva respecto al primero.

Un corolario de esta aseveración es:

Dos sucesos que son simultáneos en un sistema de referencia no lo son en otro sistema de referencia que se mueva respecto al primero.

Supóngase que tenemos dos relojes en reposo en los puntos A y B separados entre sí una distancia L en el sistema K. ¿Cómo podemos sincronizar estos relojes? Si un observador en A mira el reloj situado en B y hace que su reloj marque el mismo tiempo los relojes no estarán sincronizados debido al tiempo L / c que tarda la luz en recorrer el espacio que separa ambos relojes. Para sincronizar los relojes el observador en A debe adelantar su reloj en el tiempo L / c. Entonces verá que el reloj en B marca un tiempo que está retrasado en L / c respecto del correspondiente a su reloj, pero calculará que ambos relojes están sincronizados cuando tenga en cuenta el tiempo L / cque la luz tarda en llegar hasta él. Todos los observadores, excepto aquéllos situados a mitad de camino entre ambos relojes, verán que éstos marcan tiempos diferentes, pero también podrán calcular que los relojes están sincronizados cuando corrijan el tiempo que tarda la luz en llegar hasta ellos.

Examinemos ahora la cuestión de la simultaneidad. Supongamos que A y B se ponen de acuerdo para disparar destellos luminosos en el instante t0 (habiendo sincronizado previamente sus relojes). Un observador C a mitad de camino entre ambos verá la luz procedente de los dos destellos en el mismo momento y, puesto que está equidistante de A y B, llegará a la conclusión de que ambos son simultáneos. Otros observadores en el cuerpo de referencia K verán la luz procedente desde A o desde B primero, dependiendo de su posición, pero tras corregir el tiempo que la luz emplea en llegar hasta ellos también concluirán que ambos destellos son simultáneos.

Dos sucesos en un sistema de referencia son simultáneos si las señales luminosas procedentes de los sucesos alcanzan en el mismo instante a un observador situado a mitad de camino entre ellos.

En definitiva, la relatividad del tiempo es consecuencia de la existencia de una velocidad límite en la transmisión de las señales.

Consideremos dos sucesos que se producen en x'0 en los instantes t'1 y t'2 en el sistema K'. Podemos hallar los tiempos t1 y t2 correspondientes a los mismos sucesos en K mediante la transformación de Lorentz, obteniendo que:



Esta igualdad es conocida como fórmula de la dilatación del tiempo

El tiempo transcurrido entre dos sucesos que ocurren en el mismo lugar en un sistema de referencia se denomina el tiempo propio, tp. En este caso, el intervalo de tiempo Dtp=t'2-t'1 en el sistema K' es el tiempo propio. El intervalo de tiempo Dt medido en cualquier otro sistema de referencia es siempre más largo que el tiempo propio. Este crecimiento se denomina dilatación del tiempo.

Como consecuencia, un observador en un sistema de referencia móvil obtiene un intervalo de tiempo entre dos sucesos menor que un observador situado en un sistema en reposo.


3.2. Contracción de la longitud.



Análogamente, la longitud de un objeto medida en el sistema de referencia en que dicho objeto se encuentra en reposo se denomina su longitud propia, Lp. En un sistema de referencia en el que el objeto se está moviendo, la longitud medida es más corta que su longitud propia. Si tenemos una varilla en reposo en el sistema K' con un extremo en x'2 y otro en x'1, en el sistema K la longitud valdrá:



La longitud de una varilla es, pues, más corta cuando se mide en un sistema en movimiento.

Ejemplos interesantes de la dilatación del tiempo o de la contracción de longitudes se han verificado en los modernos aceleradores de partículas o al explicar la aparición de muones como radiación secundaria de los rayos cósmicos. Otro ejemplo es un experimento que se llevó a cabo en 1971: a bordo de dos jets programados para dar dos vueltas al mundo se embarcaron cuatro relojes de haces atómicos de cesio (de extraordinaria exactitud). Un jet dio las vueltas en sentido este y el otro en sentido oeste. El resultado fue que los relojes que se movían hacia el este se retrasaron 59 ± 10 ns, mientras que los otros se adelantaron 273 ± 7 ns, en excelente concordancia con la predicción relativista.

También es muy conocida la paradoja de los gemelos. Zipi y Zape son gemelos idénticos (hemos tomado como ejemplo a los célebres personales creados por el historietista catalán José Escobar). Zape realiza un viaje a una velocidad muy elevada hacia un planeta más allá del Sistema Solar y vuelve a la Tierra mientras Zipi permanece siempre en ella. Cuando se reúnen de nuevo, ¿cuál de los dos gemelos es más viejo, o son ambos de la misma edad? La respuesta correcta es que Zipi, el gemelo que permaneció en casa, es más viejo. El resultado relativista está en conflicto con el sentido común que se basa en nuestra creencia profunda, aunque incorrecta, de la existencia de una simultaneidad absoluta.

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Paradoja de los gemelos. Los sistemas de referencia K' y K'' se están moviendo con velocidad //V// hacia el planeta y alejándose del mismo, respectivamente. Zipi permanece en un sistema de referencia inercial, pero Zape ha de acelerar si quiere volver a casa. Si la longitud propia es Lp = 8 años-luz y V = 0.8c, se puede demostrar que Zape habrá envejecido un total de 12 años, mientras que Zipi habrá envejecido 20



4. Dinámica relativista. Masa y momento.



De acuerdo con la formulación original de la 2ª ley de Newton, la fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración: F = m·a. Si imponemos a esta expresión la condición de que la velocidad no puede crecer infinitamente, sino que tiene un valor insuperable igual a c (la velocidad de la luz en el vacío), tendremos que admitir que, al aproximarnos a dicha velocidad, la actuación continuada de la fuerza ya no produce aceleración alguna, lo cual sólo puede explicarse si suponemos que la masa de un cuerpo aumenta cuando se mueve a velocidades próximas a la de la luz, de modo que la inercia del cuerpo aumenta con la velocidad. Debido a la equivalencia entre masa y energía (E = m·c2), la energía que un objeto adquiere debido a su movimiento se añade a su masa, incrementándola. Cuanto mayor sea la velocidad de un cuerpo tanto más difícil resultar aumentar su velocidad.

De hecho, nunca se puede alcanzar la velocidad de la luz porque entonces su masa sería infinita y, por la equivalencia masa-energía, habría costado una cantidad infinita de energía el poner al objeto en ese estado.

Nos queda saber cómo depende exactamente la masa de la velocidad. Las condiciones límite que debe cumplir la masa relativista son:

  1. La masa relativista debe alcanzar un valor infinito cuando v = c. De ese modo, sería imposible producir aceleración a partir de dicha velocidad.
  2. La masa relativista debe coincidir con la del cuerpo medida en reposo relativo (cuando v = 0). Dicha masa se denomina masa en reposo, m0.
La expresión que se ajusta a estas condiciones es:




Obsérvese que se cumple que:





Dicha expresión obliga a modificar consecuentemente los conceptos en los que interviene: el momento lineal o cantidad de movimiento, y la energía. Definiremos la cantidad de movimiento relativista de una partícula de tal modo que cumpla:

  1. En las colisiones la cantidad de movimiento relativista se conserva.
  2. Cuando v / c tiende a cero, la cantidad de movimiento relativista tiende a la cantidad de movimiento clásica p = m·v.
Así, si el sistema de referencia K' se mueve hacia la derecha en el eje x con velocidad v con respecto al sistema K, la cantidad de movimiento relativista es:




5. Equivalenvia masa-energía.



En Mecánica Clásica el trabajo realizado por una fuerza no equilibrada que actúa sobre una partícula es igual a la variación de la energía cinética de la misma. En la Mecánica Relativista igualaremos la fuerza no equilibrada a la variación temporal de la cantidad de movimiento relativista. El trabajo realizado por una fuerza de este tipo puede entonces calcularse e igualarse a la variación de la energía cinética.

La energía cinética relativista se define como:



El primer factor depende de la velocidad del cuerpo, mientras que el segundo es constante y se denomina energía en reposo. Teniendo en cuenta la relación entre masa relativista y masa en reposo nos queda que:



Puesto que la energía cinética es una variación de energía (desde el estado de reposo relativo hasta una velocidad v) podemos extender el resultado anterior a cualquier variación de energía y escribirlo:



Esta ecuación es la más importante de la Teoría de la Relatividad, e implica que cualquier variación de energía se traduce en una variación de masa y vicerversa, cualquier variación de masa supone la correspondiente variación de energía.

Evidentemente esta relación conduce a la conclusión siguiente:

Masa y energía son dos manifestaciones de la misma propiedad física; esto es, la masa es una forma de energía.

La energía relativista total, E, se define como la suma de la energía cinética y de la energía en reposo:




6. Teoría General de la Relatividad.


La Teoría de la Relatividad Especial tuvo un gran éxito al explicar por qué la velocidad de la luz era idéntica para todos los observadores (tal y como había mostrado el experimento de Michelson-Morley) y al describir adecuadamente lo que sucede cuando los objetos se mueven a velocidades cercanas a la de la luz. Sin embargo, la teoría era inconsistente con la teoría de la gravitación de Newton, según la cual los objetos se atraen mutuamente con una fuerza dependiente de la distancia entre los mismos. Esto significaba que si uno de los objetos se movía, la fuerza sobre el otro debería cambiar instantáneamente. O en otras palabras, los efectos gravitatorios debería viajar y transmitirse con velocidad infinita, en vez de con una velocidad igual o menor que la de la luz, como la Teoría Especial requería.

La generalización de la Teoría de la Relatividad a los sistemas de referencia no inerciales llevada a cabo por Einstein en 1915-16 se conoce con el nombre de Teoría General de la Relatividad. Desde el punto de vista matemático es más compleja que la Teoría Especial, y existen pocas situaciones en que pueda comprobarse, a diferencia de la primera. Su fundamento es el Principio de Equivalencia:

Un campo gravitatorio homogéneo es completamente equivalente a un sistema de referencia uniformemente acelerado.

Este principio surge en la Mecánica Newtoniana debido a la aparente identidad entre masa inercial y masa gravitatoria. En otras palabras, Einstein supuso que no podía existir ningún experimento que distinguiese entre un movimiento uniformemente acelerado y la presencia de un campo gravitatorio.

Supongamos un compartimiento situado en el espacio, alejado de toda materia y que se encuentra sometido a una aceleración uniforme a. No se puede realizar ningún experimento mecánico dentro del compartimiento que permita distinguir si éste se encuentra acelerando en el espacio o se encuentra en reposo (o moviéndose con movimiento rectilíneo y uniforme) en presencia de un campo gravitatorio uniforme g = -a. Si dentro del compartimiento se sueltan algunos objetos, caerán hacia el “suelo” con una aceleración g = -a. Si una persona está sobre una balanza de muelle, leerá que su “peso” tiene un valor m·a.

Una consecuencia del principio de equivalencia –la desviación de un haz de luz en un campo gravitatorio- fue una de las primeras en comprobarse experimentalmente. En la siguiente figura se muestra un haz de luz que entra en un compartimiento que se está acelerando. Se muestran las diferentes posiciones del compartimiento para intervalos de tiempo iguales. Como el compartimiento se está acelerando la distancia que recorre en cada intervalo de tiempo va aumentando con el tiempo. Por tanto la trayectoria del haz de luz observada en el interior del compartimiento es una parábola. Pero, de acuerdo con el principio de equivalencia, no es posible distinguir un compartimiento en aceleración y otro con velocidad uniforme en un campo gravitatorio uniforme. Por tanto, concluimos que un haz de luz se acelerará en un campo gravitatorio. Verbigracia: en un lugar próximo a la superficie terrestre la luz caerá con una aceleración de 9.81 m/s2. Para una distancia de 3000 Km, que la luz recorre en 0.01 s, un haz de luz caerá aproximadamente 0.5 mm.

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Desviación de un haz de luz: una consecuencia del principio de equivalencia.

Einstein dijo que la desviación de un haz de luz en un campo gravitatorio podría observarse cuando la luz procedente de las estrellas lejanas pasara cerca del Sol. Debido al brillo del Sol esta estrella no puede observarse normalmente. Esta desviación fue observada durante un eclipse de Sol en 1919. Este mismo ejemplo lo podemos pensar de una forma más familiar: si estamos en un ascensor parado y nos tiramos una pelota, por mor de la fuerza gravitatoria ésta describe una trayectoria parabólica. Si estuviéramos en el espacio más profundo, fuera del tirón gravitatorio de una estrella o planeta, la trayectoria de la pelota sería rectilínea. Pero si fallan los frenos del ascensor y nos precipitamos en caída libre hacia abajo, descubrimos que al tirarnos la pelota la trayectoria seguida es una línea recta, del mismo modo que lo haría en un espacio sin gravedad. Es decir, la caída libre (movimiento uniformemente acelerado del ascensor) ha eliminado los efectos de la gravedad.

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En un ascensor estacionario la trayectoria de una pelota proyectada horizontalmente es una parábola que se curva hacia el suelo. En el espacio libre, lejos de toda masa gravitatoria, la trayectoria de la pelota es recta, al igual que sucede en caída libre. En la secuencia de imágenes representada vemos que en caída libre (cajas verdes) el ascensor está cambiando su posición vertical a un ritmo acelerado y dicho cambio de posición suprime la caída de la pelota.

Una segunda predicción de la teoría es el exceso de precesión del movimiento del perihelio en la órbita de Mercurio, estimado en 0.01º por siglo. Según la Mecánica Newtoniana un único planeta que girase en torno a un sol describiría una elipse alrededor de él (o más concretamente alrededor del centro de gravedad común de ambos). El sol yace en uno de los focos de la elipse orbital de manera que la distancia sol-planeta crece a lo largo de un año planetario hasta un máximo, para luego decrecer hasta un mínimo.

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Desviación (muy exagerada) de un haz de luz debido a la atracción gravitatorio del Sol.

La Teoría de la Relatividad muestra que el tiempo y el espacio están inextricablemente conectados. No es posible curvar el espacio sin curvar también el tiempo. Einstein propuso que el espacio y el tiempo son, en cierta forma, elásticos, y pueden sufrir distorsiones en presencia de una masa gravitante. La curvatura del espacio-tiempo cerca de una masa tuerce las trayectorias de los cuerpos en caída libre. De acuerdo con esta imagen no debemos considerar que la Tierra está forzada a seguir una trayectoria curva alrededor del Sol por la fuerza de la gravedad, sino cayendo libremente por el espacio-tiempo curvado, cuya distorsión aparta a la Tierra del movimiento en línea recta, provocando una trayectoria curva. Los objetos intentan moverse en trayectorias rectilíneas en el espacio-tiempo, pero como éste está deformado, sus trayectorias parecen curvadas y se mueven como si estuvieran afectados por un campo gravitatorio. Dicho de otro modo, la masa del Sol curva el espacio-tiempo de tal modo que, a pesar de que la Tierra sigue un camino recto en el espacio-tiempo cuadridimensional, nos parece que se mueve en una órbita circular en el espacio tridimensional.