UNIDAD. VIBRACIONES Y ONDAS I. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.




Objetivos de la Unidad


- Entender la gran cantidad de fenómenos naturales que se ajustan a movimientos armónicos.
- Saber deducir la ecuación de movimiento del M.A.S. a partir del estudio de la componente y de la ecuación de movimiento de un movimiento circular.
- Conocer la representación gráfica del M.A.S. y saber interpretarla con corrección.
- Entender el significado del ángulo de desfase.
- Deducir a partir de la ecuación de movimiento todo el estudio cinemático.
- Conocer las magnitudes cinemáticas del M.A.S.
- Conocer que un movimiento es armónico simple cuando su aceleración es proporcional a la elongación.
- Entender el estudio dinámico del M.A.S. a partir de las leyes de Newton utilizando ejemplos característicos (muelle, péndulo, ...).
- Entender el estudio energético del M.A.S. a partir de las expresiones correspondientes utilizando ejemplos característicos (muelle, péndulo, ...).
- Entender que el péndulo simple se ajusta a un M.A.S. en la aproximación de amplitudes pequeñas.
- Resolver con corrección cuestiones y problemas relacionados con los contenidos explicados.
- Dominar las unidades correspondientes.


1. Introducción al M.A.S.



Un movimiento armónico simple es el movimiento que describe un cuerpo que oscila respecto de la posición de equilibrio bajo la acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto de la posición de equilibrio.

La perturbación del sistema es lo que causa que el sistema trate de recuperar la posición de equilibrio.

La ecuación de movimiento del M.A.S. es:



siendo y la elongación o desviación respecto de la posición de equilibrio.

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Elongación y amplitud del M.A.S.

Las magnitudes características del M.A.S. son:

  • Vibración completa o ciclo: es el movimiento desde un extremo A de la trayectoria al otro extremo B y retorno al primero. Corresponde a una vuelta completa de la circunferencia.
  • Período: es el tiempo invertido por un cuerpo en realizar una oscilación completa. Se representa por T y presenta unidades de tiempo (s).
  • Fase: es el ángulo descrito por un punto en un instante de tiempo.
  • Frecuencia: es el número de ciclos u oscilaciones dados en un segundo. Tiene dimensiones de inversa del tiempo (s^-1 o Hz).
  • Elongación: es la distancia que en un instante dado separa el punto oscilante de la posición de equilibrio. La máxima elongación se denomina amplitud.
  • Pulsación: es la velocidad angular constante que posee un punto de la trayectoria (ω = 2π/T).


2. Cinemática del M.A.S.



La ecuación de movimiento del M.A.S. coincide con una de las coordenadas de la posición de un punto al describir un movimiento circular (applet)

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Movimiento circular

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Componentes del M.C.


Las ecuaciones de la cinemática del movimiento de un punto que describe un Movimiento Circular es:







Por tanto, las ecuaciones de la cinemática del movimiento armónico simple son:
  • Posición


  • Velocidad


  • Aceleración


Recordemos que estas ecuaciones, así como el concepto de derivada, ya se vieron en 1º de Bachillerato, en la unidad de Cinemática.


3. Dinámica del M.A.S.



Existe una fuerza recuperadora (phet/simulación) que se opone al movimiento y que trata de que el sistema sea restaurado a su estado inicial. Cuando estiramos un muelle, podemos observar cómo el sistema se opone a este estiramiento y, cuando lo soltamos, tras una serie de vibraciones se queda como estaba antes de deformarlo.

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Ley de Hooke

La ley de Hooke es la que rige esta dinámica:



que trabajando con módulos y considerando sólo el eje x queda:



Siempre que la aceleración de un objeto es proporcional a su desplazamiento, pero con signo opuesto, el objeto se mueve con movimiento armónico simple:



En función de la constante de fuerza del muelle, k, podemos expresar otras magnitudes como la frecuencia angular y el período:








4. Descripción energética del M.A.S.



Como siempre, tenemos que aplicar el principio de conservación de la energía (1ºbach), que nos dice que, en ausencia de fuerzas exteriores, la energía total del sistema es constante: Etotal = Ec + Ep = T + U.

La energía potencial es:



y dado que, por la ecuación del M.A.S., sabemos la expresión para la posición:



nos queda:



En cuanto a la energía cinética, ya sabemos que:



y como se cumple que la velocidad es:



la expresión resultante es:



Y la energía total es:



poniendo de manifiesto que la energía total del movimiento armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud.

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Energía total, cinética y potencial del M.A.S.

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Variación de la energía en el M.A.S.



Podemos analizar el movimiento estudiando cómo varían las energías cinética y potencial (applet).

*Si x = A o x = -A (puntos de retorno del movimiento), entonces E = U y toda la energía es potencial. Dicho de otro modo, la velocidad es nula y por eso se llaman puntos de retorno, porque el movimiento vuelve a ir en la dirección en que la energía cinética se incrementa.
*Si x está en el intervalo entre la posición de equilibrio (mínimo de la curva) y +A o -A entonces E = Ec+U, y se cumple que al aumentar U disminuye Ec, y viceversa.
*Si x es justamente igual a la distancia de equilibrio, x = xeq, entonces toda la energía es energía cinética, y en este punto la velocidad es máxima.

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Variación de la energía total con la posición


5. Ejemplos. El péndulo simple



Se entiende por péndulo simple o matemático (phet/simulación) a todo punto material constituido idealmente por una masa puntual suspendida de un hilo inextensible, de masa despreciable, capaz de oscilar libremente en el vacío.

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Péndulo simple

El trabajo realizado para desplazar inicialmente la esfera se manifestará:

  • Como energía potential gravitatoria de la esfera cuando ésta se encuentre en las posiciones extremas del recorrido, donde la elongación es máxima.

  • Como energía cinética, al pasar la esfera por su posición de equilibrio, pues en ese punto su velocidad es máxima.

  • Como suma de ambas en cualquier posición intermedia.

¿Cómo es el diagrama de fuerzas (applet)de la esfera suspendida? Al desplazarla de su posición de equilibrio y dejarla oscilar libremente, la única fuerza que actúa sobre ella en cada instante es su peso:



Si descomponemos la fuerza, nos percataremos de que la componente y mantiene tenso el hilo, mientras que la componente x es responsable del movimiento oscilatorio:

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Descomposición de fuerzas

Las dos componentes son:





Para oscilaciones pequeñas el movimiento de un péndulo simple puede considerarse como un M.A.S. cuya constante elástica k viene dada por el cociente mg/l:



CUADERNO DE EJERCICIOS